Что Такое >  > к > конечных разностей исчисление

Что такое конечных разностей исчисление

конечных разностей исчисление   Большая советская энциклопедия

конечных разностей исчисление - раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями "вперёд" для последовательности значений y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂), ..., y_k = f(x_k), ... функции f(x), соответствующих последовательности значений аргумента х₀, ..., X_k, ... (х_k = Х₀ + kh, h - постоянное, k - целое),

наз. выражения:

Соответственно, конечные разности "назад" определяются равенствами

При интерполяции часто пользуются т.н. центральными разностями бⁿу, к-рые вычисляются при нечётном ? в точках x = Xi + 1/2h, а при чётном 

n в точках x = x_i по формулам

Они дополняются средними арифметическими

где т - 1,2,...; если т = 0, то полагают

Центральные разности бⁿу связаны с конечными разностями Dⁿу соотношениями

Если значения аргумента не составляют арифметич. прогрессии, т. е. X_k+1-X_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой  , где Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Напр., для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, делёнными на степени разностей аргументов,и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящён решению разностных уравнений вида

(1)

- задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

где  a₁, ..., a_n - постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни  его характеристич. уравнения

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

где С₁,С₃, ..., С_n - произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел  нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967. Под редакцией Н. С. Бахвалова.