Что Такое >  > к > конические сечения

Что такое конические сечения

конические сечения   Большая советская энциклопедия

конические сечения - линии, к-рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а); линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса (рис., 6); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в);линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.С точки зрения аналитич. геометрии К. с.- действительные нераспадающиеся линии второго порядка. В тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

Дальнейшие исследования таких (наз. центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

если за направления осей координат выбрать т. н. главные направления - направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (1) определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (1) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

К. с. были известны уже математикам Др. Греции (напр., Менехму,4в. до н. э.); с помощью этих кривых решались нек-рые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов - циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греч. геометры получали К. с., проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих, при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т. е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если этот угол - острый, параболой, если - прямой, и гиперболой, если - тупой. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были "Конические сечения" Аполлония Пергского (ок. 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К.с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрич. методов: проективного (франц. математики Ж. Де-зарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного (франц. математики Р. Декарт, П. Ферма).

При надлежащем выборе системы координат уравнение К. с. может быть приведено к виду:

Если р не равно 0, то оно определяет параболу при лямбда= 0, эллипс при лямбда< 0, гиперболу при лямбда> 0. Геометрич. свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреч. геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово "парабола" (греч. parabole) означает приложение (т. к. в греч. геометрии превращение прямоугольника данной площади у² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р наз. приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово "эллипс" (греч. elleipsis) - недостаток (приложение с недостатком), слово "гипербола" (греч. hyperbole)-избыток (приложение с избытком).

С переходом к совр. методам исследования стереометрич. определение К. с. было .заменено планиметрич. определениями этих кривых как геометрич. местна плоскости. Так, напр., эллипс определяется как геометрич. место точек, для к-рых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.

Можно дать другое планиметрич. определение К. с., охватывающее все три типа этих кривых: К. с.- геометрич. место точек, для каждой из к-рых отношение её расстояний до данной точки ("фокуса") к расстоянию до данной прямой ("директрисы") равно данному положительному числу ("эксцентриситету") е. Если при этом е < 1, то К. с.- эллипс; если е > 1, то - гипербола; если е = 1, то - парабола.

Интерес к К. с. всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке К. с. приобрели особенное значение после того, как нем. астроном И. Кеплер открыл из наблюдений, а англ, учёный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет, один из к-рых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по К. с., в одном из фокусов к-рого находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам К. с.: параболу описывает снаряд или камень, брошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается сопротивлением воздуха); в нек-рых механизмах пользуются зубчатыми колёсами эллиптич. формы ("эллиптическая зубчатка"); гипербола служит графиком обратной пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (напр., закон Бойля-Мариотта).

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ван дер Варден Б. Л-, Пробуждающаяся наука, пер. с голл-, М., 1959.

В. И. Битюцков.