Что Такое >  > к > континуума проблема

Что такое континуума проблема

континуума проблема   Большая советская энциклопедия

континуума проблема - задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами множеств теории следующее утверждение, наз. континуум-гипотезой (К.-г.): мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза (О. к.-г.) гласит, что для любого множества Р первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. математики Р. Бэр, А. Лебег, сов. математик Н. Н. Лузин и др.) к убеждению, что К. п. не может быть решена традиц. средствами теории множеств. Это убеждение было решающим образом подтверждено точными методами математич. логики и аксиоматической теории множеств. В 1936 К. Гёделъ доказал, что О. к.-г. совместна с одной естественной системой аксиоматич. теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута традиц. средствами. Наконец, в 1963 амер. логик П. Коэн, используя изобретённый им т. н. метод вынужде-ния, сумел доказать, что и отрицание К.-г. совместно с этой системой, так что К.-г. невозможно доказать с помощью обычных методов теории множеств. Последователи Коэна затем получили методом вынуждения много результатов, проливающих свет на роль К.-г. и О. к.-г. и их взаимоотношение с др. теоретико-множественными принципами.

Полученные результаты свидетельствуют, что на совр. этапе развития теории множеств возможны различные подходы к основаниям этой науки, существенно различным образом отвечающие на естеств. проблемы, такие, напр., как К. п., возникающие в теории множеств.

Лит.: Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966. А. Г. Драгалин,