Что Такое >  > п > площадь

Что такое площадь

площадь  Словарь Ожегова

   1) площадь - пространство, помещение предназначенное для какой-нибудьцели
   Пример: Посевная п. Полезная п. в доме.

   2) площадь - величина чего-н, в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах
   Пример: П. треугольника. П. участка.

   3) площадь - незаостренное большое и ровное место (в городе, селе), от которого обычно расходятся в разные стороны улицы
   Пример: Красная п. в Москве.

   4) площадь - == жилая площадь
   

площадь   Большая советская энциклопедия

площадь - одна из основных величин, связанных с геометрич. фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практич. геометрии (разбивка земельных участков). За неск. столетий до нашей эры греч. учёные располагали точными правилами вычисления П., к-рые в "Нача-лах" Евклида облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, к-рый может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {S<} - числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a {Sd} - числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {Si} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (напр., числом нуль). Наименьшее из чисел S, ограничивающее сверху
множество {Si}, наз. нижней площадью фигуры F; а наибольшее из

сама фигура - квадрируемои фигурой. Для того чтобы плоская фигура была квадрируемои, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа е можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность Sd-Sf площадей к-рых была бы меньше Е.

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F -т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) - ограничена графиком заданной на сегменте [а, b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ох между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

Рис. 1.

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, к-рый встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F -односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф|, каждая из к-рых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку Mi, принадлежащую части Ф( (рис. 2). Предел сумм площа-

Рис. 2.

дей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек Mi, наз. площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для к-рой этот предел существует, наз. квадрируемои. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей. Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z - f(x, у),
где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

Здесь G - замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds - элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М.. 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1-2, М., 1971-73.

площадь - одна из основных величин, связанных с геометрич. фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практич. геометрии (разбивка земельных участков). За неск. столетий до нашей эры греч. учёные располагали точными правилами вычисления П., к-рые в "Нача-лах" Евклида облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, к-рый может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {S<} - числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a {Sd} - числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {Si} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (напр., числом нуль). Наименьшее из чисел S, ограничивающее сверху
множество {Si}, наз. нижней площадью фигуры F; а наибольшее из

сама фигура - квадрируемои фигурой. Для того чтобы плоская фигура была квадрируемои, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа е можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность Sd-Sf площадей к-рых была бы меньше Е.

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F -т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) - ограничена графиком заданной на сегменте [а, b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ох между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

Рис. 1.

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, к-рый встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F -односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф|, каждая из к-рых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку Mi, принадлежащую части Ф( (рис. 2). Предел сумм площа-

Рис. 2.

дей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек Mi, наз. площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для к-рой этот предел существует, наз. квадрируемои. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей. Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z - f(x, у),
где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

Здесь G - замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds - элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М.. 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1-2, М., 1971-73.

ПЛОЩАДЬ, открытое, архитектурно организованное, обрамлённое к.-л. зданиями, сооружениями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств. Предшественниками гор. П. были парадные дворы дворцовых и храмовых комплексов Крита, Египта, Вавилонии, Ассирии. Их прямоугольный план и периметрии, застройку унаследовали др.-греч. агоры и др.-рим. форумы. Столь же замкнутый характер (при почти всегда нерегулярном плане) имели П. европ. городов 12-14 вв.; гл. П. были торг. П. В эпоху Возрождения создавались обычно П. с очертаниями в виде правильной геометрич. фигуры (прямоугольник, трапеция); большое значение приобрели П. для гражд. собраний со зданием гор. управления и лоджией для заседаний патрициата. Барокко вводит в практику градостроительства круглые, многоугольные и сложных очертаний П.

Большую обществ, и градостроит. роль играли кремлёвские, торговые, соборные П. в рус. ср.-век. городах. В 18 в. получили широкое распространение П. с открытой пространств, композицией. Выдающиеся образцы П. различного назначения были созданы архитекторами рус. классицизма в последней трети 18 -1-й трети 19 вв.

В совр. градостроительстве гор. П. делятся на два типа: трансп. и пешеходные. Трансп. П. выполняют функции узлов движения гор. транспорта; П. с большой интенсивностью движения иногда сооружают в неск. ярусах (на поверхности земли, подземные, надземные) для развязки движения транспорта в разных уровнях. Трансп. П. часто имеют конкретное специализированное назначение: напр., вокзальные П. (на к-рых должны быть разделены потоки пассажиров, направляющихся на посадку и прибывающих), П. с обширными стоянками автомобилей перед крупными заводами, стадионами, зрелищными и выставочными сооружениями (на таких П. должны быть разделены потоки людей, направляющихся на работу или в зрелищные учреждения, и потоки людей, возвращающихся обратно). П., предназначенные преим. для движения пешеходов, также могут иметь специализированное назначение: гл. П.- парадный и представительный центр города, театр., торг., мемориальные (в честь больших ист. событий, выдающихся гос. деятелей, учёных, мастеров иск-ва). Такие П., в композицию к-рых зачастую включаются произв. монумент, скульптуры и живописи, иногда являются выдающимися архит. ансамблями и в значит, мере определяют облик населённых мест. Гл. П. или системы гл. П., являющиеся ядром центра города, обычно имеют большие размеры и наиболее впечатляющую, монумент, застройку (напр., здания общегос. и городских учреждений); здесь проводятся парады, праздничные демонстрации, митинги, нар. гуляния. В совр. градостроительстве вблизи парадных, гл. П., на к-рых размещены здания, привлекающие значит, число работающих, зрителей, посетителей и пр., размещают спец. трансп. П. для временной стоянки автомобилей. П. различного назначения могут иметь озеленение в центр, части (преим. партерное; см. Партер) или по периметру, либо смешанное. В садово-парковых П. партерная часть обычно сочетается с деревьями и кустарниками, кронам к-рых стрижкой придают определённую геометрическую форму, или с естеств. куртинами зелёных массивов, обрамляющих П. См. также статьи Градостроительство, Дворцовая площадь, Искусств площадь, Красная площадь, Марсово поле, Островского площадь. Илл. см. т. 2., стр. 299; т. 7, табл. XIII-XV (стр. 208-209) и на стр. 209-213; т. 13, табл. XV (стр. 368-369); т. 15, стр. 415.

Лит.: Брикман А. Э., Площадь и монумент как проблема художественной формы, М., 1935; Бунин А. В., История градостроительного искусства, т. 1, М., 1953; Баранов Н. В., Композиция центра города, [М., 1964]; Основы советского градостроительства, т. 2, 4, М., 1967-69.

Н. В. Баранов.