Что такое поверхности второго порядка
поверхности второго порядка
Большая советская энциклопедияповерхности второго порядка - поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек к-рых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет м н и-м у ю П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из к-рых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять осн. типов поверхностей. Именно, 
При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. осн. инварианты - выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Напр., если 
то уравнение (*) определяет вырожденные П. в. п.: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся П. в. п.; если определитель 
то поверхность имеет единств, центр симметрии (центр П. в. п.) и наз. центральной поверхностью. Если 5 = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
Для П. в. п. установлена аффинная и проективная классификация. Две П. в. п. считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга нек-рым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы П. в. п.). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения П. в. п. Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами П. в. п. Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Напр., эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу П. в. п.
Лит.:Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1971; Е ф и м о в Н. В., Квадратичные формы и матрицы, 5 изд., М., 1972. А. Б. Иванов.