Что Такое >  > с > сферическая геометрия

Что такое сферическая геометрия

сферическая геометрия   Большая советская энциклопедия

сферическая геометрия - математическая дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении нек-рую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается т.н. большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., /), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезич. линиями и поэтому в С. r. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, напр., в С. r. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере, т. е. дугу АтВ (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом А'ВС между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом, образованным плоскостями ОBА и ОВС.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферич. двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S = 2R²A, где R - радиус сферы, А - угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны к-рого меньше половины большого круга (такие треугольники наз. эйлеровыми). Стороны а, о, с сферич. треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла ОАВС (рис., 5), углы А, В, С треугольника - двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферич. треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются те, к-рые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферич. треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, наз. симметричными; таковы, напр., треугольники АС'С и ВСС" на рис., 6.

Во всяком сферич. треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2я. Сумма углов сферич. треугольника всегда меньше Зл и больше я. Разность s - л = = е, где x - сумма углов сферич. треугольника, наз. сферическим избытком. Площадь сферич. треугольника определяется по формуле: S = R²e, где R - радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферич. треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, напр., след, образом. Фиксируются (рис., 7) нек-рый большой круг QQ' (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, напр. Р (п ол ю с), и один из больших полукругов РАР', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круга, параллельные экватору,- п араллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол О = РОМ (полярное расстояние), в качестве второй - угол ф = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферич. фигур аналитич. методами геометрии. Так, два ур-ния

или одно ур-ние

между координатами о и ф определяют нек-рую линию на сфере. Длина L дуги М₁М₂этой линии вычисляется по формуле

где t₁ и t₂ - значения параметра t, соответствующие концам M₁ и М₂ дуги М_ГМ₂ (рис., 8).

Лит.: Степанов H. H., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.- М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 196З.

СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ,

математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферич. треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С - углы к а, Ь, с -противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферич. треугольника связаны след, основными формулами С. т.:

в этих формулах стороны а, о, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А -> В -> С -> А (а -> 6 -> c -> а), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферич. треугольника определить три остальные (решить треугольник). Для прямоугольных сферич. треугольников (А = 90°, а - гипотенуза, Ь, с -катеты) формулы С. т. упрощаются, напр.:

Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферич. треугольника,можно пользоваться след, мнемонич. правилом (правилом H е п е р а): если заменить катеты прямоугольного сферич. треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (т. е. след, образом: В, а, С, 90° - b, 90° - c), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащпх элементов, напр.,

или, после преобразования,

(формула 2'). При решении задач удобны след, формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферич. треугольника:

При решении многих задач сферич. астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферич. треугольников (т. е. таких, стороны к-рых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферич. треугольников (т. е. таких, у к-рых одна сторона, напр, а, мала по сравнению с другими) применяют след, формулы:

или более точные формулы:

С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферич. треугольников, выражаемые формулами (1') - (3'), и различные случаи их решения были известны ещё греч. учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферич. треугольников греч. учёные сводили к решению прямоугольных. Азерб. учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферич. треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферич. треугольников были, найдены араб, учёным Абу-льВефа (10 в.) [формула (1)], нем. математиком И. Региомонтаном (сер. 15 в.) [формулы типа (2)], франц. математиком Ф. Виетом (2-я пол. 16 в.) [формулы типа (2i) ] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3i)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотл. математиком Дж. Непером (кон. 16 -нач. 17 вв.), англ, математиком Г. Бригсом (кон. 16-нач. 17 вв.), рус. астройомом А. И. Лекселем (2-я пол. 18 в.), франц. астрономом Ж. Деламбром (кон. 18 - нач. 19 вв.) и др.

Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.