Что Такое >  > с > сферические функции

Что такое сферические функции

сферические функции   Большая советская энциклопедия

сферические функции - , специальные функции, применяемые для изучения физич. явлений в пространственных областях, ограниченных сферич. поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферич. симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферич. координатах r, 9, ф. Общий вид решения:

где Рn - Лежандра многочлены.

С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрич. система функций на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты ф, разлагаются по зональным С. ф.:

(q^--1М -точка, в к-рую переходит точка М сферы при вращении q^-l). Коэффициенты t¹ (q) являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса / группы вращения сферы. Их наз. также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении нек-рых задач теории упругости и т. д. С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

где

cos y=cos o cos o' + sin o sin o'cos (ф-ф'), у - сферич. расстояние точки (o, ф) от точки (o', ф').

Характерным примером многочисл. приложений С. ф. к вопросам математич. физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть б = б(o, ф) - поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд

С. ф. E_n=0 Y_n(0, ф), сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, o, ф), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию соответственно степени п - 1 и п.

С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в кон. 18 в.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Г о бс о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.