Что такое сходимость
сходимость
Большая советская энциклопедиясходимость - математическое понятие, означающее, что нек-рая переменная величина имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает, напр., когда при изучении того или иного математич. объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному, т. е. имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, к-рыми представляются данные функции, и т. п.). С. последовательности {ап}, п = 1, 2, ..., означает существование у неё конечного предела
С. ряда
- конечного предела (наз. суммой ряда) у последовательности его частичных сумм
n = l,2,...;C. бесконечного произведения b1b2... bn...-конечного предела, не равного нулю, у последовательности конечных произведений р„ = b1b2...bn, п - 1, 2,...;
С. интеграла
от функции f(x), интегрируемой по любому конечному отрезку [а, Ь],- конечного предела у интегралов при b-> + °°, наз. несобственным интегралом
Свойство С. тех или иных математич. объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Напр., часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд 
для функции sin x - в сходящийся при всех x ряд 
Подобные ряды могут быть использованы для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой к-рых они являются, напр., 
При практич. вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, к-рый сходится "более быстро". Если даны два сходящихся ряда
= иn+ иn+2+ ..., pn = un+1+ Vn+1 + ... - их остатки, то 1-й ряд наз. сходящимся быстрее 2-го ряда, 
Используются и другие понятия "более быстро" сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов, т. е. методы, позволяющие преобразовать данный ряд в "более быстро" сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие "более быстрой" С. и для несобственных интегралов, для к-рых также имеются способы улучшения их С.
Большую роль понятие С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Напр., с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод). Для практич. нахождения приближённых решений уравнений широко используются ЭВМ.
Если изображать члены аппоследовательности {аn} на числовой прямой, то С. этой последовательности к а означает, что расстояние между точками an и а становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием п. В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для к-рых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (напр., на последовательности векторов, матриц, функций, геометрич. фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность {ап} сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей природы, в к-рых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство). 
то говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [напр., последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций fn(x) к f(x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций fn(x) к интегралу от f(x) и т. д.]. В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {fn(x)} наз. равномерно сходящейся к f(x) на множестве М, если 
Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f(x) и <р(х) по формуле 
Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.
В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {f,,(x)} сходится на отрезке [а, Ь] в среднем квадратическом к f(x), если 
Более общо, последовательность {fn(x)} сходится в среднем с показателем р к f(x), если 
Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле 
Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции (p(x) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к <p(x) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Напр., С. по мере: для любого е>0 мера множества тех точек, для к-рых
|fn(x) - f(x) |<е,
стремится к нулю с возрастанием n; слабая С.:
для любой функции tp(x) с интегрируемым квадратом (напр., последовательность функций sinx, sin2x, ..., sinrex, ... слабо сходится к нулю на отрезке [-п, я], так как для любой функции <p(x) с интегрируемым квадратом коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю).
Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) -т. н. банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме (т. н. сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием для всех линейных функционалов;
введённая выше слабая С. функций соответствует рассмотрению нормы
В современной математике рассматривается также С. по частично упорядоченным множествам (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества).
В теории вероятностей для последовательности случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.
Ещё математики древности (Евклид, Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объёмов. Доказательством С. рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме исчерпывания метода. Термин "С." в применении к рядам был введён в 1668 Дж. Грегори при исследовании нек-рых способов вычисления площади круга и гиперболич. сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о С. употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих с современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привел о впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой теории С., а с другой -предвосхитило современную теорию суммирования расходящихся рядов. Строгие методы исследования С. рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши, H. Абель. К. Вейерштрасс, Б. Больцано и др.). Понятие равномерной С. было введено Дж. Стоксом. Дальнейшие расширения понятия С. были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.
Лит.: Ильин В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1 - 2, М., 1971 - 73; К у д р я в ц е в Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973.