Что Такое >  > с > суммирование

Что такое суммирование

суммирование   Большая советская энциклопедия

суммирование - расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда (соответственно значения интеграла), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, т. е. найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую нек-рыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд

суммируется к Т, следовало, что ряд

суммируется к

а ряд

суммируется к S - а₀. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., т. е. методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда

умножается на нек-рый множитель Хn(t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд

с суммой o(t). При этом множители л_n(t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел ля_n(t) при нек-ром непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом o(t) имеет предел, то его паз. обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Напр., если положить лямбда_п(t) = 1 при п =S t и ~kn(t) = = 0 при n>t и брать f-> оо , то получится обычное понятие суммы ряда; при лямбда_n(t) = = tⁿ для t<1 и t->l получается метод Абеля - Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на л_n(t) а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Напр., в методе средних арифметических Чезаро полагают

говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k-го порядка. Рассматриваются и методы Чезаро дробного порядка. С ростом k возрастает сила метода Чезаро, т. е. расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля - Пуассона и притом к той же сумме. Напр., ряд 1 - 1 + 1 -... + (-1)^n-1 + ... суммируется методом Абеля - Пуассона к значению ¹/₂, т. к.

Методы Чезаро и Абеля - Пуассона применяются в теории тригонометрич. рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, т. к. ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем

самым и методом Абеля - Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями к-рого являются все методы Чезаро. Пусть р_n>=0, р₀ = 0,р_n = p₀ + p₁ +... + р_n; обобщённой суммой ряда, по Вороному, наз. предел

Метод Вороного регулярен, если

В 1911 нем. математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, к-рым должна удовлетворять треугольная матрица ||а_mn|| (где а_тn = 0 при n>m) для того, чтобы метод С., определяемый формулой

был регулярен.Польский математик X. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.

В теории аналитич. функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрич. рядов был предложен С. H. Бернштейном и нем. математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.

Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Напр., если интеграл

расходится и существует предел

то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка лямбда.

Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1 -2, М., 1965; Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; Бари H. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.